Тригонометрия в GPS системата

Технологията GPS (Глобална позиционираща система) предоставя на електронните навигационни устройства данни за местоположението, които помагат на самолети, кораби, автомобили и пешеходци да стигнат до желаната дестинация. Точността се постига чрез сложни изчисления, базирани главно на тригонометричните методи, използвани от геодезистите.

Сателити

GPS мрежата се състои от 24 сателита, обикалящи Земята. Всеки от тях изпраща уникален кодирано сигнал към наземния приемник. Сателитите разполагат с атомни часовници, които измерват времето с точност до 8 милиардни от секундата на ден. За да определи позицията, приемникът трябва едновременно да получи сигнали от поне четири различни сателита. Линиите, свързващи приемника със сателитите, образуват страни на няколко триъгълника – основа за тригонометричните изчисления.

Време и разстояние

Триъгълникът може да бъде изчислен, ако е известна дължината поне на една от страните. GPS устройството определя тази дължина, като измерва времето, което сигналът от сателита изминава, докато достигне приемника. Тъй като радиочестотният сигнал се разпространява със скоростта на светлината, разстоянието до сателита се получава чрез умножение на измереното време по скоростта на светлината.

Закон на косинусите

Триъгонометричният закон на косинусите позволява на приемника да изчисли разстоянието до всеки сателит:

\(d^2 = R_e^2 + R_s^2 - 2 R_e R_s \cos L\)

където d е разстоянието между сателита и приемника, R_e – радиусът на Земята, R_s – радиусът на орбитата на сателита, а L – ъгълът между правите, свързващи центъра на Земята със сателита и с приемника.

Пресичащи се сфери

Разстоянието до един сателит определя сфера с радиус, равен на това разстояние, в която се намира приемникът. Вторият сателит ограничава позицията до окръжност, образувана от пресичането на двете сфери. Третият сателит създава трета сфера, а пресичането на трите сфери дава единствена точка – приблизителната позиция. Четвъртият сателит позволява точно определяне на надморската височина и окончателно фиксиране на местоположението на земята.